2変数関数の極値

■問題

次の関数の極値を求めよ.

f( x,y )= x 3 + y 3 +6xy24

■答

( 2,2 ) で極大値 16 をとる. 

■ヒント

2変数関数の極値の定理1を使用する.

与えられた関数を x,y でそれぞれ偏微分し,連立方程式

{ x f( x,y )=0 y f( x,y )=0

とし,その解 x , y = a , b を求める.

更に

2 x 2 f x,y = f xx x,y 2 y 2 f x,y = f yy x,y 2 yx f x,y = f xy x,y

をそれぞれ求め

A= f xx ( a,b ), D= { f xy ( a,b ) } 2 f xx ( a,b )· f yy ( a,b )

を計算して極値を判定する.

■解説

与式を x で偏微分(偏導関数の定義より, y を定数とみなして x で微分)すると

x f( x,y ) = x ( x 3 + y 3 +6xy24 ) =3 x 2 +6y

次に f( x,y ) y で偏微分(偏導関数の定義より, x を定数とみなして y で微分)すると

y f( x,y ) = y ( x 3 + y 3 +6xy24 ) =3 y 2 +6x

両者を連立させる.

{ 3 x 2 +6y=0( 1 ) 3 y 2 +6x=0( 2 )

(1)から

3 x 2 +6y =0 x 2 +2y =0 2y = x 2 y = 1 2 x 2  ・・・・・・(3)

これを(2)に代入する.

3 ( 1 2 x 2 ) 2 +6x =0 ( 1 2 x 2 ) 2 +2x =0 1 4 x 4 +2x =0 x 4 +8x =0 x( x 3 +8 ) =0

{ x=0 x 3 +8=0( 4 )

(4)から

x 3 +8 =0 x 3 =8 x 3 = ( 2 ) 3 x =2

(3)に x=0 を代入する.

y = 1 2 · 0 2 =0

(3)に x=2 を代入する.

y = 1 2 · ( 2 ) 2 = 1 2 ·4 =2

以上から極値をとる候補は ( 0,0 ) ( 2,2 ) の2点となる.

次に

2 x 2 f x,y = f xx x,y 2 y 2 f x,y = f yy x,y 2 yx f x,y = f xy x,y

をそれぞれ求める.

f xx x,y = 2 x 2 f( x,y ) = x ( x f( x,y ) ) = x ( 3 x 2 +6y ) =6x

f yy x,y = 2 y 2 f( x,y ) = y ( y f( x,y ) ) = y ( 3 y 2 +6x ) =6y

f xy x,y = 2 yx f( x,y ) = y ( x f( x,y ) ) = y ( 3 x 2 +6y ) =6

x,y = a,b における A D の値は

A = f xx ( a,b ) =6a

D = { f xy ( a,b ) } 2 f xx ( a,b )· f yy ( a,b ) = 6 2 6a·6b =3636ab =36( 1ab )

これを元に各点における A,D を求める.

●点 ( 0,0 ) においては

A =6·0 =0

D =36( 10·0 ) =36·1 =36

D>0 となり ( 0,0 ) は極値ではない.

●点 ( 2,2 ) においては

A =6· 2 =12

D =36{ 1( 2 )·( 2 ) } =36·( 14 ) =36·( 3 ) =108

となり, A<0,D<0 から点 ( 2,2 ) で極大となる.

この点での値は,

f( 2,2 ) = ( 2 ) 3 + ( 2 ) 3 +6·( 2 )·( 2 )24 =88+2424 =16

以上からこの関数は点 ( 2,2 ) で極大値 16 をとる.

 

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最終更新日: 2023年9月21日