加法定理の問題12

加法定理の問題12

■問題

x+y+z= 180 °

{ sinxsiny=cosz sinx+siny= 1 3 sinz+1

を満たしているとき, x y z を求めよ.

■答

( x,y,z )=( 90 ° , 30 ° , 60 ° ),( 30 ° , 90 ° , 60 ° )

■解説

sinxsiny=cosz  ・・・・・・(1)

sinx+siny= 1 3 sinz+1  ・・・・・・(2)

とする

x> 0 ° ,y> 0 ° ,z> 0 °

x+y+z= 180 °  ・・・・・・(3)

から, x , y , z の範囲は, 0 ° <x< 180 ° 0 ° <y< 180 ° 0 ° <z< 180 ° となり,(3)から

z=180( x+y )  ・・・・・・(3)’

(3)’より

cosz =cos( 180 ° xy )

=cos( x+y )

=( cosxcosysinxsiny )

=cosxcosy+sinxsiny

(1)の式より

cosxcosy=0

cosxcosy=0 ・・・・・・(4)

(2)より

sinx+siny= 1 3 sin( x+y )+1 ・・・・・・(5)

(4)より

cosx=0  または  cosy=0

である.

cosx=0 のとき

0 ° <x< 180 ° より

x= 90 °  ・・・・・・(6)

(6)を(5)に代入すると

1+siny= 1 3 sin( 90+y )+1

siny= 1 3 cosy

tany= 1 3

0 ° <y< 180 ° から

y= 30 °

(3)より

z= 60 °

cosy=0 のとき

x y を入れ替えても問題は同等であるので, cosx=0 のときの x y を入れ替えるとよい.

x= 30 ° ,y= 90 ° ,z= 60 °

となる

よって(1),(2)を満たしている値は

( x,y,z )=( 90 ° , 30 ° , 60 ° ),( 30 ° , 90 ° , 60 ° )

となる

 

ホーム>>カテゴリー分類>>三角関数>>三角関数の問題>>加法定理に関する問題>>加法定理の問題

最終更新日: 2023年3月16日