加法定理の問題の別解

加法定理の問題の別解

■問題

sin18° の値を求めよ.

■答

sin18°= 1+ 5 4

■ヒント

底角が 72° の二等辺三角形に図のような補助線を引いて, 18° の角を作る.

 

■解き方

AB=1 BC=x

とおく.

ABC に二等分線を引き, AC と交わる点を D とする.

BCD ABD が二等辺三角形より, (二等辺三角形である理由)

BD=x AD=x

また, AB=AC=1 より

DC=1x

となる.

BAC に二等分線を引き, BC と交わる点を E とする.

以上をまとめた図が下の三角形である.

   

2角が等しいことより

ABCBCD

である.よって

BC AB = CD BC

x 1 = 1x x

x 2 =1x

x 2 +x1=0 …(1)

x>0 より(1) の解は,解の公式を用いると

x= 1+ 5 2

となる.

sin18°= BE AB

BE= 1 2 BC = 1 2 1+5 2 = 1+ 5 4

したがって

sin18°= 1+ 5 4 1 = 1+ 5 4

 

BCD ABD が二等辺三角形の理由

BD ABC の二等分線であるので, CBD 36°

BDC=180°-72°-36° =72°

したがって

BCD=BDC

となり BCD は二等辺三角形である.

 

BD ABC の二等分線であるので, ABD 36° .したがって

ABD=BAD

となり ABD は 二等辺三角形である.

 

 

 

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最終更新日: 2023年4月15日