三角関数の方程式に関する問題

三角関数の方程式に関する問題

■問 題

次の方程式を解け.ただし, 0θ< 2πとする.

2cos2 θ+sinθ+ 1=0

■答

θ=16 π56 π32 π

■ヒント

公式 sin2+cos 2=1を用いて式をsin に統一して計算を行う.

■解説

公式 sin2+cos 2=1を用いて次のように式を変形する.

2(1 sin2 θ)+sin θ+1=0

sinθ=t とおき,整理すると次のような2次方程式になる.

2(1 t2 )+t+1 =0

2+2t 2+t+1 =0

2t2+t 1=0 ・・・・・・(1)

(1)を因数分解して解くと次のようになる.

(2t1 )(t +1)=0

t=12  ,  t=1

t を元に戻すと

sinθ= 1 2  ,  sinθ=1

となり,これらの2つの方程式を解く

sinθ= 1 2  

sinθ=1  

よって

sinθ=12 のとき

θ=16 π56 π

sinθ=1 のとき

θ=32 π

 

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最終更新日: 2023年4月12日