不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

( x 3 +2 x 2 x )dx  

■答

1 4 x 4 + 2 3 x 3 2 3 x 3 +C   ( C は積分定数)

■ヒント

基本となる関数の積分より

x α dx= 1 α+1 x α+1 +C   ( C は積分定数)

の公式を用いる.

■解説

( x 3 + 2 x 2 x ) d x  

計算しやすくするために, x  を累乗の形に変換する.

= ( x 3 + 2 x 2 x 1 2 ) d x

x = x 1 2  は 指数が有理数の場合を参照) 

= x 3 d x + 2 x 2 d x x 1 2 d x  

不定積分の基本式の2つ目の式を参照)

= x 3 dx +2 x 2 dx x 1 2 dx  

2 を積分記号 の前に移せるのは,不定積分の基本式の1つ目の式を参照) 

= 1 3 + 1 x 3 + 1 + 2 1 2 + 1 x 2 + 1 1 1 2 + 1 x 3 2 + C  

(公式にあてはめる)

= 1 4 x 4 + 2 3 x 3 2 3 x 3 2 + C  

= 1 4 x 4 + 2 3 x 3 2 3 x 3 +C  

2 3 x 3 2 2 3 x 3 の形に戻す.指数が有理数の場合を参照) 

■確認問題

求まった答え   1 4 x 4 + 2 3 x 3 2 3 x 3 +C  を微分し,積分前の式   x 3 +2 x 2 x  に戻ることを確認しなさい.

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最終更新日: 2023年11月24日