不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

( 3 x 2 5x+2 ) 2 ( 6x5 )dx   

■答

1 3 ( 3 x 2 5x+2 ) 3 +C    C は積分定数)

■ヒント

基本となる関数の積分 より

x α dx= 1 α+1 x α+1 +C   ( C は積分定数)

の公式を用いる.

■解説

3 x 2 5x+2=t  とおいて,置換積分する.(置換積分の詳細は置換積分法を参照)

dt dx =6x5  ∴ dt=( 6x5 )dx   

3 x 2 5x+2 を微分すると 6x5 になるのは,微分 x α を参照)

与式 = t 2 dt   

置換積分法の公式にあてはめる)

= 1 3 t 3 +C   

(方針の公式にあてはめる)

= 1 3 ( 3 x 2 5x+2 ) 3 +C   

(最初に  3 x 2 5x+2=t  と置換したので,元に戻す)

 

■確認問題

求まった答え 1 3 ( 3 x 2 5x+2 ) 3 +C  を微分し,積分前の式   ( 3 x 2 5x+2 ) 2 ( 6x5 )  に戻ることを確認しなさい.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年11月24日