不定積分の問題

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

tan2xdx   

■答

1 2 log| cos2x |+C    C は積分定数)

■ヒント

三角関数の相互関係 より

tanx= sinx cosx  ・・・・・・(1)

基本となる関数の積分より

1 x dx =log| x |+C    C は積分定数) ・・・・・・(2)

の公式を用いる.

■解説

cos2x=t  ・・・・・・(3)

とおく.

dt dx =2sin2x

より

sin2xdx= 1 2 dt  ・・・・・・(4)

となる.(置換積分の詳細は置換積分法を参照)

与式 = sin2x cos2x dx  

(方針の公式 (1) より)

= 1 cos2x ·sin2x dx   

= 1 2 · 1 t dt   

((3),(4)を代入する)

= 1 2 1 t dt   

1 2 を積分記号 の前に移せるのは, 不定積分の基本式を参照)

= 1 2 log| t |+C   

(方針の公式 (2) にあてはめる)

= 1 2 log| cos2x |+C   

(最初に  cos2x=t  と置換したので,元に戻す)

 

■確認問題

求まった答え 1 2 log| cos2x |+C  を微分し,積分前の式   tan2x  に戻ることを確認しなさい.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年11月24日