不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

3 x 3 +12x+1 x 2 +4 dx    

■答

3 2 x 2 + 1 2 tan 1 x 2 +C    C は積分定数)

■ヒント

分子の次数を分母の次数より下げるように,式を変形する.

基本となる関数の積分 より

x α dx = 1 1+a x 1+a +C    C は積分定数) ・・・・・・(1)

1 x 2 + a 2 dx= 1 a tan 1 x a +C  ・・・・・・(2)  

の公式を用いる.

■解説

3 x 3 +12x+1 x 2 +4 = 3x( x 2 +4 ) x 2 +4 + 1 x 2 +4 =3x+ 1 x 2 +4

と考える.

与式 = ( 3x+ 1 x 2 +4 ) dx  

= 3x dx+ 1 x 2 +4 dx   

不定積分の基本式 2 つ目の式を参照)

= 3 2 x 2 + 1 2 tan 1 x 2 +C   

(ヒント公式 ( 1 ) ( 2 ) にあてはめた)

 

■確認問題

求まった答え  3 2 x 2 + 1 2 tan 1 x 2 +C  を微分し,積分前の式   3 x 3 +12x+1 x 2 +4  に戻ることを確認しなさい.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年11月24日