( cosx)cos xdxと部分積分する方法

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

sinxcosxdx  

■答

1 4 cos2x +C   ( C は積分定数)

■ヒント

部分積分法より

f( x ) g ( x )dx=f( x )g( x ) f ( x )g( x ) dx  

の公式を用いる.

■解説

sinxcosxdx = ( cosx ) cosxdx  

と考えて部分積分法を使う. sinx   が ( cosx )   に変換できるのは, ここ を参照

与式 = ( cos x ) cos x d x  

方針の部分積分の公式を利用する

= cos x · cos x ( cos x ) · ( cos x ) d x  

= cos 2 x ( cos x ) · ( sin x ) d x

cos x   を微分すると sin x   になるのは,ここ を参照)

= cos 2 x sin x cos x d x  

ここで, sinxcosxdx=I  とおくと

I = cos 2 xI  

2I = cos 2 x  

I = 1 2 cos 2 x  

最後に,積分定数 C  を加える.

I= 1 2 cos 2 x+C  

これは 2 倍角の公式によって求まった答 1 4 cos 2 x + C  と異なっているが, 1 4 cos 2 x + C  を変形すると 1 2 cos 2 x+C   になる.

半角の公式 2 番目の式より

1 2 cos 2 x+C = 1 2 ( 1+cos2x 2 )+C  

= 1 4 cos2x 1 4 +C  

ここで, 1 4 +C   も任意の定数となるので, 1 4 +C   を改めて C  とかき直す.

= 1 4 cos2x +C

よって,このことから, cosx=t  とおいて置換積分する方法でも解くことができる.

 

■確認問題

求まった答え  1 2 cos 2 x+C  を微分し,積分前の式   sinxcosx  に戻ることを確認しなさい.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年11月24日