sinx=t と置換する方法

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

sinxcosx dx  

■答

1 4 cos2x+ 1 4 +C       ( C は積分定数)

■ヒント

置換積分法より

f( x )dx= f( x ) dx dt dt = f( g( t ) ) g ( t )dt  ・・・・・・ ( 1 )

基本となる関数の積分 より

xdx= 1 1+a x 1+a +C  ・・・・・・ ( 2 )           ( C は積分定数)

の公式を用いる.

■解説

sinx=t  ・・・・・・ ( 3 )

とおいて,置換積分する.置換積分の詳細は置換積分法を参照

d t d x = cos x  →  d t = cos x d x  ・・・・・・ ( 4 )

sin x  を微分すると cos x  になるのは,ここ を参照)

与式 = t d t  

与式に ( 3 ) ( 4 ) を用いて置換積分する

= 1 2 t 2 + C  

方針の公式 ( 2 ) を利用する

= 1 2 sin 2 x + C  

はじめに ( 3 ) とおいているので,元に戻す

これは, 2 倍角の公式によって求まった答  1 4 cos2x+C  と異なっているが,  1 4 cos2x+C  を変形すると  1 2 sin 2 x+C  になる.

半角の公式 1 番目の式より

1 2 sin 2 x+C = 1 2 ( 1cos2x 2 )+C  

= 1 4 cos2x+ 1 4 +C  

ここで,  1 4 +C  も任意の定数となるので,  1 4 +C  を改めて  C  とかき直す.

よって,このことから,  sinx=t  とおいて置換積分する方法でも解くことができる.

 

 

■確認問題

求まった答え   1 2 sin 2 x+C  を微分し,積分前の式   sinxcosx  に戻ることを確認しなさい.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年11月24日