sinx(sinx)dxと部分積分する方法

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

sinxcosx dx  

■答

1 4 cos2x+ 1 4 +C   ( C は積分定数)

■ヒント

部分積分法 より

f( x ) g ( x )dx =f( x )g( x ) f ( x )g( x )dx  

の公式を用いる.

■解説

sinxcosx dx= sinx ( sinx ) dx  

と考えて部分積分法を使う. cos x  が ( sinx )  に変換できるのは,ここ を参照

与式 = sin x ( sin x ) d x  

= sin x · sin x ( sin x ) · sin x d x  

方針の部分積分の公式を使う.

= sin 2 x cos x · sin x d x  

( sin x )  を微分すると cos x になるのは,ここ を参照)

= sin 2 x sin x cos x d x  

ここで, sinxcosx dx=I  とおくと

I = sin 2 xI  

2I = sin 2 x  

I = 1 2 sin 2 x  

最後に,積分定数 C   を加える.

I= 1 2 sin 2 x+C  

これは 2 倍角の公式によって求まった答 1 4 cos2x+C   と異なっているが, 1 4 cos2x+C   を変形すると 1 2 sin 2 x+C   になる.

半角の公式 1 番目の式より

1 2 sin 2 x+C= 1 2 ( 1cos2x 2 )+C  

= 1 4 cos2x+ 1 4 +C  

ここで, 1 4 +C   も任意の定数となるので, 1 4 +C   を改めてとかき直す.
よって,このことから, sin=t   とおいて置換積分する方法でも解くことができる.

 

■確認問題

求まった答え  1 2 sin 2 x+C  を微分し,積分前の式   sinxcosx  に戻ることを確認しなさい.

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年11月24日