不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int \frac{x}{2x+1}dx}$ 　

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}x-\frac{1}{4}log\left|2x+1\right|+C}$　　（${\displaystyle C}$ は積分定数）

■ヒント

分子の次数を分母の次数より下げる．

■解説

与式${\displaystyle =\int \left(\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{2x+1}\right)dx}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}•\frac{1}{2}log\left|2x+1\right|+C}$ 　

この積分に関しては，ここを参考にする．

${\displaystyle \mathrm{=}\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}log\left|2x+1\right|+C}$ 　

 

■別解

${\displaystyle 2x+1=t}$ とおく(置換積分)　

${\displaystyle x=\frac{t-1}{2}}$ 　

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}}$，${\displaystyle dx=\frac{1}{2}dt}$ 　

よって

与式${\displaystyle =\int \frac{\frac{t-1}{2}}{t}•\frac{1}{2}dt}$ 　

${\displaystyle =\int \frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{t}\right)dt}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{4}\left(t-log\left|t\right|\right)+C}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{4}\left(2x+1-log\left|2x+1\right|\right)+C}$ 　

${\displaystyle =\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}log\left|2x+1\right|+\frac{1}{4}+C}$ 　

${\displaystyle \frac{1}{4}+C}$ を改めて${\displaystyle C}$ とおく

${\displaystyle =\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}log\left|2x+1\right|+C}$ 　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日