不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

sin2xsinxdx   

■答

1 6 sin3x+ 1 2 sinx+C ,または, 2 3 sin 3 x+C    Cは積分定数)

■ヒント

三角関数の積和の公式より

sinαsinβ = 1 2 { cos( α+β )cos( αβ ) }  ・・・・・・ ( 1 )

の公式を用いる.

■解説

この問題では,ヒントの公式 ( 1 ) α 2x β x をあてはめる.

与式 = ( 1 2 cos3x+ 1 2 cosx )dx

= 1 2 1 3 sin3x+ 1 2 sinx+C

= 1 6 sin3x+ 1 2 sinx+C

C は積分定数)


■別解 その1

sin2x=2sinxcosx より

与式 = 2sinxcosxsinxdx

=2 sin 2 xcosxdx

=2 sin 2 xcosxdx

sinx=t とおく

dt dx =cosx  →  cosxdx=dt

よって

=2 t 2 dt

=2 1 3 t 3 +C

= 2 3 sin 3 x+C

C は積分定数)

■別解 その2

与式 = 2sinxcosxsinxdx

= ( 1 2 cos2x ) sinxdx

= 1 2 cos2xsinx ( 1 2 cos2x ) cosxdx

= 1 2 cos2xsinx + 1 2 cos2xcosx dx

= 1 2 cos2xsinx + 1 2 ( 1 2 cos2x ) cosx dx

= 1 2 cos2xsinx + 1 2 { 1 2 sin2xcosx 1 2 sin2x( sinx )dx }

= 1 2 cos2xsinx + 1 4 sin2xcosx + 1 4 sin2x( sinx ) dx

よって

( 1 1 4 ) sin2xsinxdx = 1 2 cos2xsinx+ 1 4 sin2xcosx

sin2xsinxdx = 4 3 ( 1 2 cos2xsinx+ 1 4 sin2xcosx )

= 1 3 ( 2cos2xsinx+sin2xcosx )

= 1 3 { 2( cos 2 x sin 2 x )sinx+2sinxcosxcosx }

= 1 3 { 2 cos 2 xsinx+2 sin 3 x+2 cos 2 xsinx }

= 2 3 sin 3 x

最後に積分定数 C を加え

sin2xsinxdx= 2 3 sin 3 x+C


1 6 sin3x+ 1 2 sinx+C 2 3 sin 3 x+C が同じ理由

sin3x

=sin( 2x+x )

=sin2xcosx+cos2xsinx

=2sinxcosxcosx +( cos 2 x sin 2 x )sinx

=2sinx( 1 sin 2 x ) +( 12 sin 2 x )sinx

=2sinx2 sin 3 x+sinx2 sin 3 x

=3sinx4 sin 3 x

よって

1 6 sin3x+ 1 2 sinx+C = 1 6 ( 3sinx4 sin 3 x )+ 1 2 sinx+C

= 1 2 sinx+ 2 3 sin 3 x+ 1 2 sinx+C

= 2 3 sin 3 x+C

 

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学生スタッフ作成
最終更新日: 2023年11月24日