不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(2x+1\right)\left(x-3\right)dx}}$  

■答

${\displaystyle \frac{2}{3}{x}^3-\frac{5}{2}{x}^2-3x+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

不定積分の基本式(2)より

${\displaystyle {\displaystyle \int \left\{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right\}}dx}$${\displaystyle ={\displaystyle \int f\left(x\right)}dx\pm {\displaystyle \int g\left(x\right)}dx}$　･･････(1)

不定積分の基本式(1)より

${\displaystyle \int cf\left(x\right)dx=c\int f\left(x\right)dx}$　･･････(2)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }}dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}$　　(${\displaystyle \alpha }$ は${\displaystyle -1}$ 以外の実数)　･･････(3)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \left(2x+1\right)\left(x-3\right)dx}}$  

${\displaystyle \left(2x+1\right)\left(x-3\right)}$ を展開する

${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(2x^2-5x-3\right)dx}}$

${\displaystyle =\int 2x^{2}dx-\int 5xdx-\int 3dx}$

(項ごとに分けることが可能となるのは(1)を参照）

${\displaystyle =2{\displaystyle \int x^{2}dx-5{\displaystyle \int xdx-3{\displaystyle \int dx}}}}$

（${\displaystyle 2,5,3}$ が${\displaystyle {\displaystyle \int }}$ の前にくるのは(2)を参照)

${\displaystyle =2\times \frac{1}{3}{x}^3-5\times \frac{1}{2}{x}^2-3\times x+C}$　　（$C$は積分定数）

((3)を参照)

${\displaystyle =\frac{2}{3}{x}^3-\frac{5}{2}{x}^2-3x+C}$

　

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最終更新日： 2023年11月24日