不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{x^3+x+1}{x^2+1}}dx}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}x+{\tan }^{-1}\theta +C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

分子の次数を分母の次数より下げる．

基本となる関数の積分 より

${\displaystyle \int xdx=\frac{1}{1+a}{x}^{1+a}+C}$　　（$C$は積分定数）　･･････(1)

${\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}{tan}^{-1}\frac{x}{a}+C}$　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle \frac{x^3+x+1}{x^2+1}}$ ${\displaystyle =\frac{x\left(x^2+1\right)+1}{x^2+1}}$ ${\displaystyle =\frac{x\left(x^2+1\right)}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}}$${\displaystyle =x+\frac{1}{x^2+1}}$

と考える．

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(x+\frac{1}{x^2+1}\right)}dx}$ 　

${\displaystyle ={\displaystyle \int xdx+{\displaystyle \int \frac{1}{x^2+1}dx}}}$ 　　

（不定積分の基本式 を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{1}{\tan }^{-1}\frac{x}{1}+C}$ 　　

（ヒントの公式(1)，(2)を適用した）

${\displaystyle =\frac{1}{2}{x}^2+{\tan }^{-1}x+C}$

■確認問題

求まった答え　${\displaystyle \frac{1}{2}{x}^2+{\tan }^{-1}x+C}$ 　を微分し，積分前の式 　${\displaystyle \frac{x^3+x+1}{x^2+1}}$ 　に戻ることを確認しなさい．

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年11月24日