不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

1 3 x dx  

■答

= 2 9 x 3x +C    Cは積分定数)

■ヒント

基本となる関数の積分より

x α dx= 1 α+1 x α+1 +C    Cは積分定数) ・・・・・・(1)

の公式を用いる.

■解説

1 3 x dx  

(1)の公式を適用するために, 1 3 x 累乗の形に変換する.

1 3 x = 1 3 x = 1 3 x 1 2

x = x 1 2 指数が有理数の場合を参照) 

与式 = ( 1 3 x 1 2 )dx

= 1 3 x 1 2 dx

1 3 を積分記号 の前に移せるのは,不定積分の基本式の1つ目の式を参照) 

= 1 3 1 1+ 1 2 x 3 2 +C    Cは積分定数)

2 3 x 3 2 2 3 x x の形に戻す.指数が有理数の場合を参照) 

= 1 3 2 3 x x +C  

= 2 9 x 3x +C    Cは積分定数)

 

■確認問題

求まった答え   = 2 9 x 3x +C を微分し,積分前の式   1 3 x に戻ることを確認しなさい.

 

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最終更新日: 2023年11月24日