不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \sin 2xdx}}$

■答

${\displaystyle -\frac{1}{2}\cos 2x+C}$　　（$C$は積分定数）

■ヒント

不定積分の基本式(1)より

${\displaystyle {\displaystyle \int cf\left(x\right)dx=c{\displaystyle \int f\left(x\right)dx}}}$     (ただし，${\displaystyle c}$ は定数)　･･････(1)

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int \sin xdx=-\cos x+C}}$　　（$C$は積分定数） 　･･････(2)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int \sin 2xdx}}$

${\displaystyle 2x=t}$ と置くと（置換積分の詳細は置換積分法を参照）．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=2}$ 　→　${\displaystyle dx=\frac{1}{2}dt}$

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \sin t\cdot \frac{1}{2}dt}}$

（${\displaystyle 2x=t}$ ,${\displaystyle dx=\frac{1}{2}dt}$ を与式に代入）

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle \int \sin tdt}}$

（${\displaystyle \frac{1}{2}}$ が${\displaystyle {\displaystyle \int }}$ の前にくる理由は(1)を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \left(-\cos t\right)+C}$　（$C$は積分定数）

（(2)を参照）

${\displaystyle =-\frac{1}{2}\cos 2x+C}$　（$C$は積分定数）

(${\displaystyle t=2x}$ より変数を$t$から$x$元に戻した)

　

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最終更新日： 2023年11月24日