不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int {\left(x+3\right)}^{2}dx}}$

■答

${\displaystyle \frac{a}{4}{x}^4-\frac{b}{3}{x}^3+cx+C}$　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}}$　（$C$は積分定数）)　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int {\left(x+3\right)}^{2}dx}}$

●解法1

置換積分を用いる

${\displaystyle x+3=t}$とおく．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=1}$ 　→　$dx=dt$

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int t^{2}dt}}$

(与式に，${\displaystyle \frac{dt}{dx}=1}$ ，$dx=dt$ を代入した)

${\displaystyle =\frac{1}{2+1}{t}^{2+1}+C}$ 　　（$C$は積分定数）

（ヒントの式(1)を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{3}{\left(x+3\right)}^3+C}$ 　　（$C$は積分定数）　･･････(2)

（${\displaystyle x+3=t}$より変数を$t$から$x$に戻した）

●解法2

被積分関数を展開してから積分の計算をする

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(x^2+6x+9\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2+1}{x}^{2+1}+\frac{6}{1+1}{x}^{1+1}+9x+C}$　　（$C$は積分定数）

（ヒントの式(1)を参照）

${\displaystyle =\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+9x+C}$ 　　（$C$は積分定数）　･･････(3)

●備考

(2)を展開すると

${\displaystyle \frac{1}{3}{\left(x+3\right)}^3+C}$${\displaystyle =\frac{1}{3}\left(x^3+3x^2\cdot 3+3x\cdot 3^2+3^3\right)+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{3}{x}^3+3x^2+9x+9+C}$

となり，${\displaystyle 9+C}$ を改めて${\displaystyle C}$とおくと，(3)となり，見た目は異なるが，どちらも与式の計算結果となる．

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle =\frac{1}{3}{\left(x+3\right)}^3+C}$， ${\displaystyle \frac{1}{3}{x}^3+3x^2+9x+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle {\left(x+3\right)}^2}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2023年11月24日