不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int x{\left(x^2+1\right)}^{3}dx}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{8}{\left(x^2+1\right)}^4+C}$　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}}$　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int x{\left(x^2+1\right)}^{3}dx}}$

${\displaystyle x^2+1=t}$と置いて，置換積分をする．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=2x}$ 　→　${\displaystyle xdx=\frac{1}{2}dt}$

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int t^3\cdot \frac{1}{2}dt}}$

(${\displaystyle x^2+1=t}$，${\displaystyle xdx=\frac{1}{2}dt}$ を与式に代入した)

${\displaystyle =\frac{1}{2}{\displaystyle \int t^{3}dt}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3+1}{t}^{3+1}+C}$　（$C$は積分定数）

(基本となる関数の積分参照)

${\displaystyle =\frac{1}{8}{t}^4+C}$

${\displaystyle =\frac{1}{8}{\left(x^2+1\right)}^4+C}$　（$C$は積分定数）

(${\displaystyle t=x^2+1}$より変数を$t$から$x$に戻した )

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{1}{8}{\left(x^2+1\right)}^4+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle x{\left(x^2+1\right)}^3}$ に戻ることを確認しなさい．

　

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最終更新日： 2024年3月5日