不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int 3x{\left(x+4\right)}^{3}dx}}$

■答

${\displaystyle \frac{3}{5}{\left(x+4\right)}^5-3{\left(x+4\right)}^4+C}$　（$C$は積分定数）

■ヒント

基本となる関数の積分より

${\displaystyle {\displaystyle \int x^{\alpha }dx=\frac{1}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}+C}}$　（$C$は積分定数）　･･････(1)

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle {\displaystyle \int 3x{\left(x+4\right)}^{3}dx}}$

${\displaystyle x+4=t}$ と置き，置換積分する．

${\displaystyle \frac{dt}{dx}=1}$ 　→　${\displaystyle dx=dt}$

${\displaystyle x=t-4}$

よって

与式${\displaystyle ={\displaystyle \int 3\left(t-4\right)t^{3}dt}}$

(${\displaystyle x+4=t}$ , ${\displaystyle x=t-4}$，${\displaystyle dx=dt}$ を代入した)

${\displaystyle ={\displaystyle \int \left(3t^4-12t^3\right)dt}}$

${\displaystyle =\frac{3}{4+1}{t}^{4+1}-\frac{12}{3+1}{t}^{3+1}+C}$　（$C$は積分定数）

（ヒントの式(1)を参照）

${\displaystyle =\frac{3}{5}{t}^5-3t^4+C}$

${\displaystyle =\frac{3}{5}{\left(x+4\right)}^5-3{\left(x+4\right)}^4+C}$　（$C$は積分定数）

　

■確認問題

求まった答え ${\displaystyle \frac{3}{5}{\left(x+4\right)}^5-3{\left(x+4\right)}^4+C}$ を微分し，積分前の式 ${\displaystyle 3x{\left(x+4\right)}^3}$ に戻ることを確認しなさい．

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最終更新日： 2023年11月24日