不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

3 x 2 xa dx

■答

3 2 ( xa )( x+3a )+3 a 2 log| xa |+C   Cは積分定数)  ・・・・・・(1)

■ヒント

基本となる関数の積分より

x α dx= 1 α+1 x α+1 +C   Cは積分定数)

1 x dx=log| x |+C   Cは積分定数)

の公式を用いる.

■解説

3 x 2 xa dx

xa=t と置き,置換積分する.

dt dx =1  →  dx=dt

x=t+a

よって

与式 = 3 ( t+a ) 2 t dt

( xa=t , x=t+a dx=dt を代入した)

= 3 t 2 +6at+3 a 2 t dt

= ( 3t+6a+ 3 a 2 t ) dt

(分子を分母の t で割る)

= 3 1+1 t 2 +6at+3 a 2 log| t |+C   Cは積分定数)

(1)を参照)

= 3 2 t 2 +6at+3 a 2 log| t |+C

= 3 2 ( xa ) 2 +6a( xa )+3 a 2 log| xa |+C

( t=xa を元に戻す)

= 3 2 ( xa )( x+3a )+3 a 2 log| xa |+C   Cは積分定数)

 

■確認問題

求まった答え 3 2 ( xa )( x+3a )+3 a 2 log| xa |+C を微分し,積分前の式 3 x 2 xa に戻ることを確認しなさい.

 

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最終更新日: 2023年11月24日