不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

x 3 x 2 1 dx

■答

1 9 ( 3 x 2 1 ) 3 x 2 1 +C   Cは積分定数)

■ヒント

基本となる関数の積分より

x α dx= 1 α+1 x α+1 +C   Cは積分定数) ・・・・・・(1)

の公式を用いる.

■解説

x 3 x 2 1 dx

3 x 2 1=t と置き,置換積分をする.

dt dx =6x  →  xdx= 1 6 dt

よって

与式 = t 1 6 dt

( 3 x 2 1=t , xdx= 1 6 dt を代入した)

= 1 6 t 1 2 dt

t 累乗の形に変形した)

= 1 6 1 1 2 +1 t 1 2 +1 +C   Cは積分定数)

(ヒントの式(1) を参照 )

= 1 9 t 3 2 +C

= 1 9 ( 3 x 2 1 ) 3 2 +C

( t=3 x 2 1 より変数をtからxに戻した)

= 1 9 ( 3 x 2 1 ) 3 x 2 1 +C   Cは積分定数)

 

■確認問題

求まった答え 1 9 ( 3 x 2 1 ) 3 x 2 1 +C を微分し,積分前の式 3 x 2 1 に戻ることを確認しなさい.

 

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最終更新日: 2023年11月24日