不定積分の問題

不定積分の問題

■問題

次の問題を積分せよ(不定積分).

( 5 x 4 3 x 2 + 3 x 2 ) dx  

■答

x 5 x 3 + x 3 +C   ( C は積分定数)

■ヒント

基本となる関数の積分より

x α dx= 1 α+1 x α+1 +C    ( C は積分定数)

の公式を用いる.

■解説

( 5 x 4 3 x 2 + 3 x 2 ) dx  

計算しやすいよう, x  を累乗の形に変換すると,

与式 = ( 5 x 4 3 x 2 + 3 2 x 1 2 ) dx

x = x 1 2  は 指数が有理数の場合を参照) 

= 5 x 4 dx 3 x 2 dx+ 3 2 x 1 2 dx  

不定積分の基本式の2つ目の式を参照)

=5 x 4 dx 3 x 2 dx+ 3 2 x 1 2 dx  

=5 1 4+1 x 4+1 3 1 2+1 x 2+1 + 3 2 1 1 2 +1 x 1 2 +1 +C

公式にあてはめる) 

=5 1 5 x 5 3 1 3 x 3 + 3 2 2 3 x 3 2 +C  

= x 5 x 3 + x 3 2 +C  

x 3 2 x 3 の形に戻して,(指数が有理数の場合を参照) 

= x 5 x 3 + x 3 +C   ( C は積分定数)

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最終更新日:2023年11月24日