垂線の長さの問題

垂線の長さの問題

■問題

平面 x+2y+4z=21 に,原点から垂線を降ろした.その垂線の長さを求めよ.

■答

21

■ヒント

平面の方程式から垂線の方程式をつくる.

原点から垂線を降ろし,交わった点の座標を求め,この値から垂線の長さを求める.

あるいは,公式

a x 0 +b y 0 +c z 0 +d a 2 + b 2 + c 2

を使う.

■解説

平面に垂直なベクトルは

1,2,4

である.よって,原点を通って平面に直交する直線の方程式

x 1 = y 2 = z 4

となる.

x 1 = y 2 = z 4 =t

とおくと

{ x=t y=2t z=4t

となる.これらを平面の方程式に代入すると

t+2( 2t )+4( 4t )=2

t+4t+16t=21

21t=21

t=1

となる.よって

x 1 = y 2 = z 4 =1

となり

x=1,y=2,z=4

が得られ,原点から垂線を降ろし交わった点の座標は

( 1,2,4 )

となる.

したがって垂線の長さは

1 2 + 2 2 + 4 2 = 21

公式を使うと

a x 0 +b y 0 +c z 0 +d a 2 + b 2 + c 2 = 10+20+4021 1 2 + 2 2 + 4 2 = 21

となる.

 

ホーム>>カテゴリー分類>>ベクトル>>ベクトルに関する問題>>垂線の長さの問題

学生スタッフ
最終更新日: 2023年2月17日