平面の方程式の問題

平面の方程式の問題

■問題

空間座標上の3点 A 1,1,2 B 1,1,2 C 2,2,1 を通る平面の方程式を求めよ.

■答

5x2yz5=0

■ヒント

AB AC は3点 A 1,1,2 B 1,1,2 C 2,2,1 を通る平面上のベクトルであり,外積 AB × AC は平面に垂直なベクトルとなる.(法線ベクトル参照)

AB =( a x   , a y   , a z ) AC =( b x   , b y   , b z ) のとき

AB × AC =( a y b z a z b y   , a z b x a x b z   , a x b y a y b x )  (外積の成分表示を参照)

である.

■解説

初めに, AB AC を求める.

AB = AO + OB = OB OA

= ( 1 , 1 , 2 ) ( 1 , 1 , 2 ) = ( 0 , 2 , 4 )

AC = AO + OC = OC OA

= ( 2 , 2 , 1 ) ( 1 , 1 , 2 ) = ( 1 , 1 , 3 )

となる.

よって,求める外積 AB × AC は, AB = ( 0 , 2 , 4 ) , AC = ( 1 , 1 , 3 ) より

AB × AC

= ( 2 × 3 4 , 4 × 1 3 × 0 , 0 × 1 ( 2 ) × 1 )

= ( 10 , 4 , 2 )

となる.

したがって,点 A ( 1 , 1 , 2 ) を通り, ( 10 , 4 , 2 )

を法線ベクトルとする平面は,

10 ( x 1 ) + 4 ( y 1 ) + 2 ( z + 2 ) = 0

10 x + 4 y + 2 z = 10

5 x 2 y z = 5

よって,求める平面の方程式

5x2yz5=0

となる.

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学生スタッフ
最終更新日: 2023年2月17日