平面の方程式の問題

■問題

空間座標上の3点 ${\displaystyle \text{A}\left(2,1,2\right)}$ ， ${\displaystyle \text{B}\left(1,3,1\right)}$ ， ${\displaystyle \text{C}\left(1,-1,2\right)}$を通る平面の方程式を求めよ．

■答

${\displaystyle 2x-y-4z+5=0}$

■ヒント

点 ${\displaystyle \text{A}\left(x_1,y_1,z_1\right)}$ を通り，法線ベクトル${\displaystyle \overrightarrow{n}=(a,b,c)}$ の 平面の方程式

${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$

を用いる．

■答

平面の方程式を

${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$　　･･････(1)

とすると

${\displaystyle 2a+b+2c+d=0}$　･･････(2)　（ ${\displaystyle \text{A}\left(2,1,2\right)}$ が平面上にあるから ）

${\displaystyle a+3b+c+d=0}$　･･････(3)　( ${\displaystyle \text{B}\left(1,3,1\right)}$ が平面上にあるから ) 　　　　　

${\displaystyle a-b+2c+d=0}$　･･････(4)　( ${\displaystyle \text{C}\left(1,-1,2\right)}$ が平面上にあるから)

これら3式の連立方程式を解く

(3)-(4)より

${\displaystyle 4b-c=0}$，${\displaystyle c=4b}$　･･････(5)

(2)-(3)より

${\displaystyle a-2b+c=0}$　･･････(6)

(5)に(6)を代入すると

${\displaystyle a-2b+4b=0}$，${\displaystyle a=-2b}$　･･････(7)

(5)，(7)を(4)に代入すると

${\displaystyle -2b-b+2\left(4b\right)+d=0}$ ，${\displaystyle d=-5b}$　･･････(8)

(5)，(7)，(8)をまとめると

${\displaystyle a=-2b,c=4b,d=-5b}$

という結果が得られる．

これらを，平面の方程式(1)に代入すると

${\displaystyle -2bx+by+4bz-5b=0}$

となる．両辺を${\displaystyle -b}$ で割ると平面の方程式

${\displaystyle 2x-y-4z+5=0}$

が求まる．

■別解

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学生スタッフ
最終更新日： 2023年2月15日