重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ.

D ( 2xy )dxdy    ( D:3x3,0y3 )

■ヒント

領域 D から変数 x と変数 y の積分範囲を決定する.

次に, x を定数とみなして y について積分し,その結果を更に x に関して積分する.

■答

D ( 2 x y ) d x d y

領域 D よろ変数 x と変数 y 積分範囲を決定する.

= 3 3 ( 0 3 ( 2 x y ) d y ) d x

まず, 0 3 2xy dy の計算をする. x を定数とみなして y について積分する .

= 3 3 [ 2 x y 1 2 y 2 ] 0 3 d x

= 3 3 { 2 x · 3 1 2 · 3 2 ( 2 x · 0 1 2 · 0 2 ) } d x

= 3 3 ( 6 x 9 2 0 ) d x

= 3 3 ( 6 x 9 2 ) d x

積分結果を更に x で積分する.

= [ 3 x 2 9 2 x ] 3 3

= 3 · 3 2 9 2 · 3 { 3 · ( 3 ) 2 9 2 · ( 3 ) }

= 27 27 2 ( 27 + 27 2 )

= 27 27 2 27 27 2

= 27

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年8月2日