重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ.

D x y 2 dxdy    ( D:0x2,2y1 )

■ヒント

領域 D よろ変数 x と変数 y の積分範囲を決定する.

次に, x を定数とみなして y について積分し,その結果を更に x に関して積分する.

■答

D x y 2 dxdy  

領域 D より変数 x と変数 y 積分範囲を決定する.

= 0 2 2 1 x y 2 dy dx

まず, 2 1 x y 2 dy の計算をする. x を定数とみなして y について積分する. 

= 0 2 [ 1 3 x y 3 ] 2 1 d x

= 0 2 { 1 3 x· 1 2 1 3 x· ( 2 ) 3 }dx  

= 0 2 { 1 3 x 1 3 x·( 8 ) }dx  

= 0 2 { 1 3 x+ 8 3 x }dx  

= 0 2 9 3 xdx  

= 0 2 3xdx  

積分結果を更に x で積分する.

= [ 3 2 x 2 ] 0 2  

= 3 2 · 2 2 3 2 · 0 2  

=60  

=6  

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年8月2日