重積分の基礎

■問題

次の重積分の値を求めよ.

D sin( x+y )dxdy    ( D:0xπ,0yπ )

■答

0

■ヒント

領域 D より変数 x と変数 y の積分範囲を決定する.

次に, x を定数とみなして y について積分し,その結果を更に x で積分する.

■答

D sin( x+y )dxdy

領域 D より変数 x と変数 y 積分範囲を決定する.

= 0 π { 0 π sin( x+y )dy }dx

まず, 0 π sin x+y dy の計算をする. x を定数とみなして y について積分する.

= 0 π [ cos( x+y ) ] 0 π dx

= 0 π { cos( x+π )+cos( x+0 ) }dx

= 0 π { cosxcos( x+π ) }dx

積分結果を更に x で積分する.

= [ sinxsin( x+π ) ] 0 π

=sinπsin( π+π ) { sin0sin( 0+π ) }

=sinπsin2πsin0+sinπ

=000+0

=0

 

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最終更新日: 2023年8月2日