重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ.

D rsinθdrdθ   ( D : π 3 θπ,0r4 )

■答

12

■ヒント

領域 D より変数 x と変数 y の積分範囲を決定する.

次に, θ を定数とみなして r について積分し,その結果を更に θ で積分する.

■解説

D rsinθdrdθ

領域 D より変数 r と変数 θ の積分範囲を決定する.

= π 3 π { 0 4 rsinθdr }dθ

まず, 0 4 rsinθdr を計算する. θ を定数とみなして r について積分する.

= π 3 π [ 1 2 r 2 sinθ ] 0 4 dθ

= π 3 π ( 1 2 · 4 2 sinθ 1 2 · 0 2 sinθ )dθ

= π 3 π 8sinθdθ

重積分の基本公式から8をくくりだす.

=8 π 3 π sinθdθ

積分結果を更に θ で積分する.

=8 [ cosθ ] π 3 π

=8( cosπ+cos π 3 )

=8( 1+ 1 2 )

=8 · 3 2

=12

 

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>重積分>>重積分の計算問題>>問題

学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年8月2日