重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ.

D xdxdy    ( D: x 2 + y 4 1,x0,y0 )

■答

8 3

■ヒント

領域 D より変数 x と変数 y の積分範囲を決定する.

次に, x を定数とみなして y について積分し,その結果を更に x で積分する.

■解説

領域 D より

x 2 + y 4 1

2x+y 4

y 2x+4

y0 を考慮すると

0y2x+4

これを満たす x の条件は

2x+4 0

2x 4

x 2

x0 を考慮すると

0x2

以上から領域 D

D:0x2,0y2x+4

となる.よって

D x d x d y = 0 2 ( 0 2 x + 4 x d y ) d x

まず, 0 2x+4 xdy を計算する. x を定数とみなして y について積分する.

= 0 2 [ x y ] 0 2 x + 4 d x

= 0 2 { x · ( 2 x + 4 ) x · 0 } d x

= 0 2 ( 2 x 2 + 4 x ) d x

重積分の基本公式から-2を積分記号の前にくくりだす. 

= 2 0 2 ( x 2 2 x ) d x

更に x で積分する

= 2 [ 1 3 x 3 x 2 ] 0 2

= 2 { 1 3 · 2 3 2 2 ( 1 3 · 0 3 0 2 ) }

= 2 ( 8 3 4 )

= 2 · 8 12 3

= 2 · ( 4 3 )

= 8 3

 

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最終更新日: 2023年8月3日