重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ.

D xydxdy    ( D:2x+ y 2 1,x0,y0 )

■答

1 24

■ヒント

領域 D より変数 x と変数 y の積分範囲を決定する.

次に, x を定数とみなして y について積分し,その結果を更に x で積分する.

■解説

領域 D より

2x+ y 2 1

y 2 2x+1

y 4x+2

y0 を考慮すると

0y4x+2

これを満たす x の条件は

4x+2 0

4x 2

x 1 2

x0 を考慮すると

0x 1 2

以上から領域 D

D:0x 1 2 ,0y4x+2

と書き換えられる.よって

D x y d x d y

= 0 1 2 ( 0 4 x + 2 x y d y ) d x

まず, 0 4x+2 xydy を計算する. x を定数とみなして y について積分する. 

= 0 1 2 [ 1 2 x y 2 ] 0 4 x + 2 d x

= 0 1 2 { 1 2 x ( 4 x + 2 ) 2 1 2 x · 0 2 } d x

= 0 1 2 { 1 2 x ( 16 x 2 16 x + 4 ) 0 } d x

= 0 1 2 ( 8 x 3 8 x 2 + 2 x ) d x

積分結果を更に x で積分する. 

= [ 2 x 4 8 3 x 3 + x 2 ] 0 1 2

= 2 · ( 1 2 ) 4 8 3 · ( 1 2 ) 3 + ( 1 2 ) 2 ( 2 · 0 4 + 8 3 · 0 3 + 0 2 )

= 1 8 1 3 + 1 4 0

= 3 8 + 6 24

= 1 24




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最終更新日: 2023年8月3日