重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ.

D ( x 2 + y 2 )dxdy    ( D:x+y2,x0,y0 )

■答

8 3

■ヒント

領域 D より変数 x と変数 y の積分範囲を決定する.

次に, x を定数とみなして y について積分し,その結果を更に x で積分する.

■解説

領域 D より

x+y 2

y x+2

y0 0yx+2

を考慮すると

これを満たす x の条件は

x+2 0

x 2

x 2

x0 を考慮すると

0x2

以上から領域 D

D:0x2,0yx+2

と書き換えられる.よって

D ( x 2 + y 2 ) d x d y

= 0 2 ( 0 x + 2 ( x 2 + y 2 ) d y ) d x

まず, 0 x+2 x 2 + y 2 dy を計算する. x を定数とみなして y について積分する. 

= 0 2 [ x 2 y + 1 3 y 3 ] 0 x + 2 d x

= 0 2 { x 2 ( x + 2 ) + 1 3 ( x + 2 ) 3 ( x 2 · 0 + 0 3 ) } d x

= 0 2 { x 3 + 2 x 2 + 1 3 ( x 3 + 6 x 2 12 x + 8 ) 0 } d x

= 0 2 ( x 3 + 2 x 2 1 3 x 3 + 2 x 2 4 x + 8 3 ) d x

= 0 2 ( 4 3 x 3 + 4 x 2 4 x + 8 3 ) d x

更に x で積分する. 

= [ 1 3 x 4 + 4 3 x 3 2 x 2 + 8 3 x ] 0 2

= 1 3 · 2 4 + 4 3 · 2 3 2 · 2 2 + 8 3 · 2 ( 1 3 · 0 4 + 4 3 · 0 3 2 · 0 2 + 8 3 · 0 )

= 16 3 + 32 3 8 + 16 3 0

= 16 + 32 24 + 16 3

= 8 3

 

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>重積分>>重積分の計算問題>>問題

学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年8月3日