重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ.

D sin( x+y )dxdy    ( D:x+yπ,x0,y0 )

■答

π

■ヒント

領域 D より変数 x と変数 y の積分範囲を決定する.

次に, x を定数とみなして y について積分し,その結果を更に x で積分する.

■解説

領域 D より

x+y π

y x+π

y0 を考慮すると

0yx+π

これを満たす x の条件は

x+π 0

x π

x π

x0 を考慮すると

0xπ

以上から領域 D

D:0xπ,0yx+π

と書き換えられる.よって

D sin ( x + y ) d x d y

= 0 π ( 0 x + π sin ( x + y ) d y ) d x

まず, 0 x+π sin x+y dy を計算する. x を定数とみなして y について積分する. 

= 0 π [ cos ( x + y ) ] 0 x + π d x

= 0 π { cos ( x x + π ) + cos ( x + 0 ) } d x

= 0 π ( cos π + cos x ) d x

= 0 π ( 1 + cos x ) d x

を更に x で積分する. 

= [ x + sin x ] 0 π

= π + sin π ( 0 + sin 0 )

= π + 0 0

= π

 

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最終更新日: 2023年8月3日