重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ.

D xdxdy    ( D:0y3x x 2 )

■答

27 4

■ヒント

はじめに領域 D を作図し, x y の積分範囲を決定する.

次に, x を定数とみなして y について積分し,その結果を更に x で積分する.

■解説

領域 D

0y3x x 2

であることより

直線   y=0  ・・・・・・(1)

曲線   y=3x x 2  ・・・・・・(2)

で囲まれた領域である.(2)を平方完成すると

y = x 2 + 3 x

= ( x 2 3 x )

= { x 2 3 x + ( 3 2 ) 2 ( 3 2 ) 2 }

= { x 2 3 x + ( 3 2 ) 2 } + ( 3 2 ) 2

= ( x 2 3 2 ) 2 + 9 4

となり,頂点 ( 3 2 , 9 4 ) の上に凸のグラフとなることが分かる.

3 x x 2 = 0

x ( 3 x ) = 0

x = 0 , 3

q3-1

(1)と(2)の交点は ( 0,0 ),( 3,0 ) の2点となる.領域 D を作図すると右図のようになる.

これより積分範囲を決定すると

D x d x d y

= 0 3 ( 0 3 x x 2 x d y ) d x

まず, 0 3x x 2 xdy を計算する. x を定数とみなして y について積分する. 

= 0 3 [ x y ] 0 3 x x 2 d x

= 0 3 { x · ( 3 x x 2 ) x · 0 } d x

= 0 3 ( 3 x 2 x 3 ) d x

更に x で積分する. 

= [ x 3 1 4 x 4 ] 0 3

= 3 3 1 4 · 3 4 ( 0 3 1 4 · 0 4 )

= 27 81 4

= 108 81 4

= 27 4

 

 

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最終更新日: 2023年8月3日