重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ.

D ( x+2 )dxdy    ( D:1x1,0y x 2 +1 )

■答

16 3

■ヒント

領域 D より変数 x と変数 y の積分範囲を決定する.

次に, x を定数とみなして y について積分し,その結果を更に x で積分する.

■解説

領域 D より

D ( x + 2 ) d x d y

= 1 1 ( 0 x 2 + 1 ( x + 2 ) d y ) d x

まず, 0 x 2 +1 x+2 dy を計算する. x を定数とみなして y について積分する. 

= 1 1 [ x y + 2 y ] 0 x 2 + 1 d x

= 1 1 { x · ( x 2 + 1 ) + 2 ( x 2 + 1 ) ( x · 0 + 2 · 0 ) } d x

= 1 1 ( x 3 + x + 2 x 2 + 2 0 ) d x

= 1 1 ( x 3 + 2 x 2 + x + 2 ) d x

更に x で積分する. 

= [ 1 4 x 4 + 2 3 x 3 + 1 2 x 2 + 2 x ] 1 1

= 1 4 · 1 4 + 2 3 · 1 3 + 1 2 · 1 2 + 2 · 1

{ 1 4 · ( 1 ) 4 + 2 3 · ( 1 ) 3 + 1 2 · ( 1 ) 2 + 2 · ( 1 ) }

= 1 4 + 2 3 + 1 2 + 2 ( 1 4 2 3 + 1 2 2 )

= 1 4 + 2 3 + 1 2 + 2 1 4 + 2 3 1 2 + 2

= 4 3 + 4

= 4 + 12 3

= 16 3

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年8月3日