重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ.

D ( 2x+y )dxdy    ( D: x 2 yx+2 )

■答

117 10

■ヒント

はじめに領域 D を作図し, x y の積分範囲を決定する.

次に, x を定数とみなして y について積分し,その結果を更に x で積分する.

■解説

領域 D

x 2 yx+2

であることより

曲線   y= x 2  ・・・・・・(1)

直線   y=x+2  ・・・・・・(2)

で囲まれた領域である.(1),(2)の の交点を求めると

x 2 = x + 2

x 2 x 2 = 0

( x + 1 ) ( x 2 ) = 0

x=1,2

q3-4

y=x+2 にそれぞれ代入することにより,交点は ( 1 , 1 ) , ( 2 , 4 ) の2点となる.

領域 D を作図すると右図のようにな.

これより積分範囲を決定すると

D ( 2 x + y ) d x d y

= 1 2 ( x 2 x + 2 ( 2 x + y ) d y ) d x

まず, x 2 x+2 2x+y dy を計算する. x を定数とみなして y について積分する. 

= 1 2 [ 2 x y + 1 2 y 2 ] x 2 x + 2 d x

= 1 2 [ 2 x ( x + 2 ) + 1 2 ( x + 2 ) 2 { 2 x · x 2 + 1 2 ( x 2 ) 2 } ] d x

= 1 2 { 2 x 2 + 4 x + 1 2 ( x 2 + 4 x + 4 ) ( 2 x 3 + 1 2 x 4 ) } d x

更に x で積分する. 

= 1 2 ( 2 x 2 + 4 x + 1 2 x 2 + 2 x + 2 2 x 3 1 2 x 4 ) d x

= 1 2 ( 1 2 x 4 2 x 3 + 4 + 1 2 x 2 + 6 x + 2 ) d x

= 1 2 ( 1 2 x 4 2 x 3 + 5 2 x 2 + 6 x + 2 ) d x

= [ 1 10 x 5 1 2 x 4 + 5 6 x 3 + 3 x 2 + 2 x ] 1 2

= 1 10 · 2 5 1 2 · 2 4 + 5 6 · 2 3 + 3 · 2 2 + 2 · 2

{ 1 10 · ( 1 ) 5 1 2 · ( 1 ) 4 + 5 6 · ( 1 ) 3 + 3 · ( 1 ) 2 + 2 · ( 1 ) }

= 16 5 8 + 20 3 + 12 + 4 ( 1 10 1 2 5 6 + 3 2 )

= 16 5 + 20 3 + 8 1 10 + 1 2 + 5 6 1

= 96 + 200 + 240 3 + 15 + 25 30 30

= 351 30

= 117 10

 

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最終更新日: 2023年8月3日