重積分の基礎

■問題

次の重積分の値を求めよ.

D logxy dxdy       ( D:1x2, 1y2 )

■ヒント

logx の積分の応用である

■答

4 log 2 2

■解説 

1 2 1 2 logxy dxdy

= 1 2 { 1 2 logxydx } dy      

logx dx の計算を参照) 

= 1 2 { 1 2 1·logxydx } dy

= 1 2 { ( 2log2ylogy ) [ x ] 1 2 } dy

= 1 2 { [ xlogxy ] 1 2 1 2 x· y xy dx } dy

= 1 2 { log ( 2y ) 2 logy( 21 ) } dy

= 1 2 { log 4 y 2 y 1 } dy

= 1 2 ( log4y1 ) dy

= [ ylog4y ] 1 2 1 2 y 1 y dy [ y ] 1 2

=2log8log4 [ y ] 1 2 [ y ] 1 2

=2log8log411

=log64log42

=log162

=log 2 4 2

=4log22

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年8月4日