重積分の計算問題

■問題

次の重積分を計算せよ.

0 2 y 2 1 ( x+y )dxdy

■答

4 3

■ヒント

まず

y 2 1 ( x+y )dx

を計算する. y を定数と考えて x について積分し,その結果を y で積分する.

■解説

0 2 y 2 1 ( x+y )dxdy

= 0 2 { y 2 1 ( x+y )dx } dy  

= 0 2 [ 1 2 x 2 +xy ] y 2 1 dy

= 0 2 { ( 1 2 +y )( 1 8 y 2 + 1 2 y 2 ) } dy

= 0 2 ( 5 8 y 2 +y+ 1 2 ) dy

= [ 5 24 y 3 + 1 2 y 2 + 1 2 y ] 0 2

={ ( 5 3 +2+1 )0 }

= 4 3

 

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最終更新日: 2023年8月4日