重積分の計算問題

■問題

次の重積分を計算せよ.

  D ( x 3 +xy )dxdy    ( D:0y1,0x y )   

■答

1 4

■ヒント

積分領域 D から積分範囲を決定する. x について積分した後, y で積分する場合,

x の積分範囲: 0 y

y の積分範囲: 0 1

となる.

■解説

D ( x 3 + x y ) d x d y

= 0 1 0 y x 3 + xy dx dy  

= 0 1 dy 0 y ( x 3 +xy ) dx  

= 0 1 dy [ 1 4 x 4 + 1 2 x 2 y ] 0 y

= 0 1 3 4 y 2 dy

= 3 4 [ 1 3 y 3 ] 0 1

= 1 4

 

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最終更新日: 2023年8月4日