重積分の計算問題

■問題

次の2重積分を求めよ.その際領域 D の図を描くこと.

D xydxdy    ( D: x 2 yx )

■答

1 24

■ヒント

はじめに領域 D を作図し, x y の積分範囲を決定する.

■解説

D: x 2 yx より, y= x 2 の曲線 と y = x の直線とで囲まれた領域が領域 D になる.

y= x 2 の曲線 と y = x の直線との交点の x の値は

x 2 =x

x 2 x=0  

x( x1 )=0  

x=0,1  

となり,グラフにまとめると図のようになる.

D xydxdy

= 0 1 ( x 2 x x y d y ) d x

= 0 1 [ 1 2 x y 2 ] x 2 x dx  

= 0 1 ( 1 2 x 3 1 2 x 5 )dx  

= [ 1 8 x 4 1 12 x 6 ] 0 1  

= 1 8 1 12  

= 32 24  

= 1 24  

●別解

x で積分してから y で積分する場合を考える.

y=x  →  x=y

y= x 2  →  x= y  

D xydxdy

= 0 1 ( y y x y d x ) d y

= 0 1 [ 1 2 x 2 y ] y y dy  

= 0 1 ( 1 2 y 2 1 2 y 3 ) dx  

= [ 1 6 y 3 1 8 y 4 ] 0 1  

= 1 6 1 8  

= 43 24  

= 1 24  

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年8月4日