重積分の基礎

■問題

次の2重積分を求めよ.その際領域 D の図を描くこと.

D y 2 dxdy    ( D: x 2 + y 2 9,x0 )

■答

81 8 π  

■ヒント

極座標表示に変数変換する.

■解説

{ x=rcosθ y=rsinθ とおき変数変換する.このときヤコビアン J

J= ( x,y ) ( r,θ ) =| x r x θ y r y θ | =| cosθ rsinθ sinθ rcosθ | =r cos 2 θ+r sin 2 θ=r  

よって,

dxdy J drdθ= r drdθ=rdrdθ

となる.

積分領域は

D: x 2 + y 2 9,x0   →  D :0r3,0θπ

となる.

D y 2 dxdy

= 0 3 π 2 π 2 rsinθ 2 rdθ dr

= 0 3 ( π 2 π 2 r 3 sin 2 θdθ ) dr

= 0 3 ( 2 r 3 0 π 2 sin 2 θdθ ) dr  

= 0 3 2 r 3 1 2 π 2 dr  

= π 2 0 3 r 3 dr

= π 2 0 3 r 3 dr  

= π 2 [ 1 4 r 4 ] 0 3  

= 81 8 π  

 

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>重積分>>重積分の計算問題>>問題

学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年8月4日