重積分の計算問題

■問題

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ.

D xy 1+x+y dxdy    ( D:0x+y1,0xy1 )

■答

1 4 log2

■ヒント

x+y=u xy=v とおく変数変換により,積分の計算を簡単化する。ヤコビアンの計算式も参考にする.

■解き方

領域 D  

領域 D  

x+y=u xy=v とおくと

x= 1 2 ( u+v ) y= 1 2 ( uv )

となる.この変数変換によるヤコビアンは

J( u,v )=| 1 2 1 2 1 2 1 2 |= 1 4 1 4 = 1 2

となる.変数変換により x,y の領域 D u,v の領域 D

D :0u1,0v1 (正方形)

に変換される.よって

(与式) = D v 1 + u · 1 2 d u d v

= 1 2 0 1 0 1 v 1+u du dv

= 1 2 0 1 v log| 1+u | 0 1 dv

= 1 2 0 1 v· log2dv

= 1 2 log2 [ 1 2 v 2 ] 0 1

= 1 4 log2

 

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最終更新日: 2023年10月19日