重積分の計算問題

■問題

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ.

D 64xydxdy    ( D:1x+y2,2x3y0 )

■答

52 3

■ヒント

x+y=u x3y=v とおく変数変換により,積分の計算を簡単化する。ヤコビアンの計算式も参考にする.

■解き方

領域 D  

領域 D  

x+y=u x3y=v とおくと

x= 1 4 ( 3u+v ) y= 1 4 ( uv )

となる.この変数変換によるヤコビアンは

J( u,v )=| 3 4 1 4 1 4 1 4 |= 3 16 1 16 = 1 4

となる.変数変換により x,y の領域 D u,v の領域 D

D : 1u 2, -2v 0

に変換される.よって

(与式) = D 64· 1 4 ( 3u+v ) · 1 4 ( uv )· 1 4 dudv

= D ( 3 u 2 2uv v 2 ) dudv

= 1 2 2 0 3 u 2 2uv v 2 dv du

= 1 2 [ 3 u 2 vu v 2 1 3 v 3 ] 2 0 du

= 1 2 ( 6 u 2 +4u 8 3 ) du

= [ 2 u 3 +2 u 2 8 3 u ] 1 2

={ ( 16+8 16 3 )( 2+2 8 3 ) }

= 52 3

 

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最終更新日: 2023年10月19日