重積分の計算問題

■問題

次の重積分の値を求めよ.

D a 2 x 2 y 2 dxdy    (D: x 2 + y 2 ax)

■答

1 3 π a 3

■ヒント

領域 D の範囲は円になっているので極座標に変数変換する.

■解き方

領域 D

領域 D の範囲を確認する.

x 2 + y 2 ax

x 2 ax+ y 2 0

x a 2 2 + y 2 a 2 2

よって, 領域 D は中心が a 2 ,0 ,半径が a 2 の内部になる.

極座標変換 x=rcosθ y=rsinθ を行うと, x,y の領域 D は図のような r,θ の領域 D

D :0racosθ, π 2 θ π 2

に移る.

領域 D

(与式) = D a 2 r 2 ·rdrdθ

= π 2 π 2 0 acosθ a 2 r 2 ·rdr dθ

0 acosθ a 2 r 2 ·rdr について

t= a 2 r 2 とおく置換積分をする.

dt dr = r a 2 r 2 dt dr = r t rdt=tdt

r:0acosθ のとき t:aasinθ

よって

0 acosθ a 2 r 2 ·rdr = a asinθ t 2 dt

= 1 3 t 3 a asinθ

= 1 3 a 3 sin 3 θ+ 1 3 a 3

= 1 3 a 3 1 sin 3 θ

したがって

(与式) = π 2 π 2 1 3 a 3 1 sin 3 θ dθ

= 1 3 a 3 π 2 π 2 dθ 1 3 a 3 π 2 π 2 sin 3 θdθ

sin 3 θ は奇関数より, π 2 π 2 sin 3 θdθ =0  (ここを参照).よって

= 1 3 a 3 θ π 2 π 2 0

= 1 3 π a 3

 

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最終更新日: 2023年8月22日