重積分の基礎

■問題

積分の順序を変更して次の重積分を求めよ.

0 2a x 2 a 6ax ydy dx

■答

332 15 a 3

■ヒント

与式では y で積分してから x で積分する.この積分を x で積分してから y で積分するように変更する.

■解き方

 

積分順序を変更すると, x で積分するとき, y の値によって積分上限の関数が異なることになるので,以下のように D 1 D 2 の2つの領域に分けて積分の計算をする.

D 1 :0x ay ,0y4a

D 2 :0x6ay,4ay6a

となるから

(与式) = 0 4a 0 ay ydx dy + 4a 6a 0 6ay ydx dy

= 0 4a y ay dy+ 4a 6a ( 6ay )·y dy

= a 0 4a y 3 2 dy+ 4a 6a ( 6ay y 2 ) dy

= 2 5 a [ y 5 2 ] 0 4a + [ 3a y 2 1 3 y 3 ] 4a 6a

= 2 5 a ( 4a ) 5 2 +{ ( 3a· ( 6a ) 2 1 3 ( 6a ) 3 )( 3a· ( 4a ) 2 1 3 ( 4a ) 3 ) }

= 64 5 a 3 +{ ( 108 a 3 72 a 3 )( 48 a 3 64 3 a 3 ) }

= 64 5 a 3 +( 36 a 3 80 3 a 3 )

= 64 5 a 3 + 28 3 a 3

= 332 15 a 3

 

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最終更新日: 2023年8月22日