変数変換

■問題

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ.

D ( x 2 + y 2 ) e xy dxdy    (D:2<x+y<2,2<xy<2)

■答

2 3 ( 5 e 2 17 e 2 )

■ヒント

x+y=u xy=v とおく変数変換により,積分の計算を簡単化する。ヤコビアンの計算式も参考にする.

■解き方

領域 D  

領域 D  

x+y=u xy=v とおくと

x= 1 2 ( u+v ) y= 1 2 ( uv )

となる.よって,この変数変換によるヤコビアン

J( u,v )=| x u x v y u y v |=| 1 2 1 2 1 2 1 2 |= 1 2

となる.変数変換によって x,y の領域 D u,v の領域 D

D :2u2,2v2 (長方形)

に変換される.よって

(与式) = D 1 2 ( u 2 + v 2 ) e u · 1 2 dudv

= 1 4 D ( u 2 + v 2 ) e u dudv

= 1 4 2 2 2 2 e u u 2 + v 2 dv du

= 1 4 2 2 e u [ u 2 v+ 1 3 v 3 ] 2 2 du

= 1 4 2 2 e u { ( 2 u 2 + 8 3 )( 2 u 2 8 3 ) }du

= 1 4 2 2 e u ( 4 u 2 + 16 3 )du

= 2 2 e u ( u 2 + 4 3 )du

部分積分法を用いて計算をする

= 2 2 e u u 2 + 4 3 du

= e u u 2 + 4 3 2 2 2 2 e u ·2udu

={ e 2 ( 4+ 4 3 )+ e 2 ( 4+ 4 3 ) } + 2 2 2u e u du

最後の項の積分は部分積分法を用いて計算をする

= 16 3 e 2 16 3 e 2 2 2 2u e u du

= 16 3 e 2 16 3 e 2 [ 2u e u ] 2 2 + 2 2 2 e u du

= 16 3 e 2 16 3 e 2 { 4 e 2 ( 4 e 2 ) } + 2 2 2 e u du

= 16 3 e 2 16 3 e 2 4 e 2 4 e 2 + 2 2 2 e u du

= 4 3 e 2 28 3 e 2 +2 2 2 e u du

= 4 3 e 2 28 3 e 2 2 [ e u ] 2 2

= 4 3 e 2 28 3 e 2 2( e 2 e 2 )

= 10 3 e 2 34 3 e 2

= 2 3 ( 5 e 2 17 e 2 )

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年10月19日