変数変換

■問題

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ.

D ( x 2 y 2 ) ( x+y )dxdy    ( D:0x+y2,1xy2 )

■答

4

■ヒント

x+y=u xy=v とおく変数変換により,積分の計算を簡単化する。ヤコビアンの計算式も参考にする.

■解き方

領域 D  

領域 D  

x+y=u xy=v とおくと

x= 1 2 ( u+v ) y= 1 2 ( uv )

となる.よって,この変数変換によるヤコビアン

J( u,v )=| x u x v y u y v |=| 1 2 1 2 1 2 1 2 |= 1 2

となる.変数変換によって x,y の領域 D u,v の領域 D

D :0u2,1v2

に変換される.よって

(与式) = D { ( 1 2 u+ 1 2 v ) 2 ( 1 2 u 1 2 v ) 2 }u 1 2 dudv

= 1 2 D u 2 v d u d v

= 1 2 1 2 0 2 u 2 v du dv

= 1 2 1 2 [ 1 3 u 3 v ] 0 2 dv

= 1 2 1 2 ( 8 3 v0 ) dv

= 1 2 1 2 8 3 v d v

= 1 2 [ 4 3 v 2 ] 1 2

= 1 2 ( 16 3 4 3 )

=2

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年10月19日