変数変換

■問題

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ.

D 4( x 2 +2xy+ y 2 ) ( x 2 y 2 )dxdy    ( D:0x+y2,1xy2 )

■答

12

■ヒント

x+y=u xy=v とおく変数変換により,積分の計算を簡単化する。ヤコビアンの計算式も参考にする.

■解き方

領域 D  

領域 D  

x+y=u xy=v とおくと

x= 1 2 ( u+v ) y= 1 2 ( uv )

となる.よって,この変数変換によるヤコビアン

J( u,v )=| x u x v y u y v |=| 1 2 1 2 1 2 1 2 | = 1 2

となる.変数変換によって x,y の領域 D u,v の領域 D

D :0u2,1v2

に変換される.よって

(与式) = D 4 u 3 v 1 2 dudv

= 1 2 1 2 0 2 4 u 3 v du dv

= 1 2 1 2 u 4 v 0 2 dv

= 1 2 1 2 16v d v

= 1 2 [ 8 v 2 ] 1 2

= 1 2 ( 32 8 )

= 12

 

ホーム>>カテゴリー分類>>積分>>重積分>>重積分の計算問題>>問題

学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年10月19日