変数変換

■問題

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ.

D x 3 + y 3 d x d y    ( D:0x+y1,1x2y2 )

■答

11 36

■ヒント

x+y=u x2y=v とおく変数変換により,積分の計算を簡単化する。ヤコビアンの計算式も参考にする.

■解き方

領域 D  

領域 D  

x+y=u x2y=v とおくと

x= 1 3 ( 2u+v ) y= 1 3 ( uv )

となる.よって,この変数変換によるヤコビアンは

J( u,v )=| x u x v y u y v |=| 2 3 1 3 1 3 1 3 | = 1 3

となる.変数変換によって x,y の領域 D u,v の領域 D

( D :0u1,1v2 )

に変換される.よって

(与式) = D u 3 3 + u 2 v 3 + u v 2 3 1 3 dudv

= 1 9 0 1 1 2 u 3 + u 2 v+u v 2 dv du

= 1 9 0 1 u 3 v+ 1 2 u 2 v 2 + 1 3 u v 3 1 2 du

= 1 9 0 1 ( 3 u 3 + 3 2 u 2 +3u ) du

= 1 9 [ 3 4 u 4 + 1 2 u 3 + 3 2 u 2 ] 0 1

= 11 36

 

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学生スタッフ作成

最終更新日: 2023年10月19日